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Summenformel von arithmetischen Folgen

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Beschreibung

Holzmaterial zu Herleitung und Verständnis der Summenformel, anhand dieses Materials kann man die Idee von Gauß nachvollziehen.

Grund-Kasten ca. A4, 8 Plättchen für die Darstellung von a2=a1+d usw, je 15 Schiebe-Elemente für zwei Zahlen-Beispiele und für ein allgemeines Beispiel

Arbeitsvorschlag

Nimm den Holzkasten und öffne vorne die Abdeckung. Unten drinnen sind 4 Tabletts. Nimm zuerst das Tablett mit den roten Schiebern heraus.
Stecke die Schieber ihrem Wert nach aufsteigend an der Oberkante in die Rillen des Holzkasten ein.
Die gesuchte Summe kann nun durch einfache Addition gelöst werden: 1 + 2 = 3 ..... Das ist ziemlich umständlich – leichter geht es, wenn du die beiden äußersten Schieber nach unten zusammenführst und deren Summe rechts auf der gleichen Höhe einschiebst.
Mach das gleiche mit den verbleibenden Schiebern, indem du jeweils immer die beiden äußersten nach unten schiebst.
Du siehst so, dass die Teil-Summe immer gleich bleibt. Also hast du die gesamte Summe auf mehrere gleiche Teilsummen zerlegt. Nun sind 5 Paare mit jeweils der Summe 11 da – also ist die gesamte Summe 55.
Nimm alle Schieber heraus und verfahre ebenso mit dem zweiten Tablett (grüne Schieber).
Danach nimm dir das rechte Tablett und sieh dir an, wie aus a₁ durch hinzufügen von einem d (Distanz) ein a₂ wird. Das gleiche kannst du mit jedem anderen Glied der Folge machen. Auch kannst du etwa von a₅ ein d subtrahieren – du kommst dann eben zu a₄. Dieser Aufbau muss dir vor dem letzten Schritt klar sein!
Nimm nun das letzte Tablett und verwende die Schieber. Dabei bekommst du als Resultat die Summenformel einer arithmetischen Folge in allgemeiner Schreibweise.
Du kannst diese Formel also für beliebige arithmetische Folgen anwenden.